Spazi Vettoriali

Introduzione ai vettori

I vettori sono utilizzato per esempio nella fisica. $$ \vec{f} = m * \vec{a} $$

Vettori del piano

Come rappresentazione un vettore è una frecca orientata che nasce da un punto $O$ verso un punto $P$

$$ OP = \vec{v} $$

Ogni vettore ha 3 elementi:

La direzione (Retta passante per O e P)
Il verso (Da O verso P)
Un intensità (La distanza da O a P)

Somma di vettori

Dati due vettori con direzioni diverse la loro somma segue la regola del parallelogramma.
Il vettore somma è la diagonale del parallelogramma costruito usando i die vettori come lati.
Se hanno la stessa direzione muove la punta del primo vettore lungo il verso del secondo dell'intensità del secondo vettore.

Proprietà della somma

Vettore Opposto

Secondo questa regola, avendo due vettori $\vec v_1, \vec v_2$ con la stessa direzione e intensità ma verso opposto, la loro somma è un vettore di intensità 0, il vettore nullo. Il vettore sarà quindi chiamato vettore oppsoto
$$ \vec v_1 + \vec v_2 = \vec0 \\ \vec v_2 = -\vec v_1 $$

Proprietà commutativa

Un'altra proprietà importante della somma dei vettori è la proprietà commutativa. $$ \vec v + \vec w = \vec w + \vec v $$ Non importa l'ordine con cui sommo i vettori, il risultato non cambia.

Proprietò associativa

Se devo sommare più di 2 vettori l'ordine con cui eseguo queste somme non cambia il risultato $$ \vec v + \vec w + \vec z = (\vec v + \vec w) + \vec z = \vec v + (\vec w + \vec z) $$

Prodotto di un numero reale per un vettore

Dato un vettore $\vec v$ e un numero reale $a$ il loro prodotto è un vettore $a\vec v$ con le seguenti caratteristiche:

La stessa direzione di $\vec v$
La stessa direzione di $\vec v$ se $a$ è positivo, la direzione opposta se $a$ è negativo
L'intensità data dal prodotto fra $a$ è l'intensità di $\vec v = \lVert v \rVert$

Proprietà del prodotto per un numero

Azzeramento del prodotto

Il vettore $a\vec v$ sarò nullo se $a = 0$ o $\vec v = $ vettore nullo

Proprietà distributiva

Il prodotto di un numero per la somma di due vettori è pari alla somma dei prodotti $$ a(\vec v + \vec w) = a\vec v + a\vec w $$ Il prodotto fra un vettore per la somma di due numeri reali è paro alla somma dei prodotti $$ (a + v)\vec v = a\vec v + b\vec v $$

N-Uple (dieta)

Prendiamo l'esempio di una dieta.
Per ogni cibi mi servono 3 informazioni principali:

Quantità di grassi
Quantità di carboidrati
Quantità di proteine

Ogni cibo lo possiamo quindi rappresentare con una terna di valori che rappresentano queste quantità. $$ cibo_A = (30g, 20g, 40g) $$ Generalizzando il concetto posso rappresentare un cibo con una n-upla, cioè n numeri dove ogni numero ha un suo significato e il cui insieme mi rappresenta le caratteristiche di questo cibo che a me interessano.

Coppie (in $R^2$)

Prendendo due coppie $(a, b), (c, d) \in R^2$ Posso definire delle operazioni $$ \begin{align} \text{somma} & = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) \\ \text{prodotto con un numero} & = (a, b) * c = (ac, bc) \end{align} $$ Noto subito che anche qui si trovano delle proprietà

Proprietà della somma

Proprietà	Descrizione
Commutativa	$(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)$
Associativa	$((a,b)+(c,d))+(e,f) = (a,b)+((c,d)+(e,f))$
Esistenza del Neutro	$(a,b) + (0,0) = (a,b)$
Esistenza dell'Opposto	$(a,b) +(-a, -b) = (0, 0)$

Proprietà del prodotto per un numero

Proprietà	Descrizione
Distributiva alle coppie	$m((a,b) + (c,d))= m(a,b)+m(c,d)$
Distributiva numeri	$(m+n)(a,b) = m(a,b)+n(a,b)$
Esistenza del Neutro	$1(a,b) = (a,b)$
Composizione dei prodotti	$(mn)(a,b)=m(n(a,b))$

E' immediato vedere che:

Queste proprietà valgono indipendente del numero di elementi (n-upla)
Sono le stesse proprietà dei vettori del piano